Главная Финансы Книги Фінансова статистика - Шустіков А.А.

Фінансова статистика - Шустіков А.А.

12. ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ ВІДСОТКОВИХ СТАВОК

12.1. Поняття еквівалентності відсоткових ставок

Від вибору виду відсоткової ставки залежить фінансовий результат кредитних угод. Різні за змістом відсоткові ставки, але однакові за величиною дають різні відсоткові суми грошей при однакових усіх інших параметрах. Якщо різнорідні відсоткові ставки в конкретних умовах угоди призводять до одного й того самого фінансового результату, то в даному разі вони є еквівалентними. Тобто еквівалентними називаються різні за видом відсоткові ставки, які у фінансових операціях дають однакові кінцеві результати.

Принцип еквівалентності ставок використовується при порівнянні ставок, які застосовуються в різноманітних угодах, визначенні ефективності фінансово-кредитних операцій, беззбитковій заміні одного виду відсоткових ставок іншими. Для сторін, які укладають фінансовий контракт, не має важливого значення, яка з еквівалентних ставок фігуруватиме в угоді.

Система еквівалентних ставок складається з таких елементів:

• еквівалентність простих ставок;
• еквівалентність простих і складних ставок;
• еквівалентність складних ставок;
• еквівалентність дискретних і безперервних ставок.

Виведення формул еквівалентності ставок у всіх випадках базується на рівності взятих попарно відповідних множників нарощення.

Розглянемо умови, за яких нарощення відсотків за простою ставкою відсотків (і) призведе до таких самих результатів, що і нарахування цих грошей за простою обліковою ставкою (d) при зафіксованих однакових початковій величині (Р) і строках (n). Очевидно, має виконуватися умова, за якої нарощені суми для цих відсоткових ставок будуть однакові, тобто S1 = S2, де S1 — це нарощена сума, при визначенні якої використовувалась проста ставка відсотків (i), а S2 — це нарощена сума, при визначенні якої використовувалась проста облікова ставка (d). Прирівняємо множники нарощення за цими ставками (1 + in) = (1 – nd)–1. З цього рівняння можна вивести співвідношення між простою ставкою відсотків і простою обліковою ставкою. Формула простої ставки відсотків, що еквівалентна простій обліковій ставці, буде такою:

Формула простої облікової ставки, що еквівалентна простій ставці відсотків, має такий вигляд: .

Використовуючи ці формули, можна за заданою простою ставкою відсотків знайти еквівалентну просту облікову ставку, і навпаки. Так, при операціях з векселями використовують просту облікову ставку, але вона не показує ефективність і прибутковість цієї фінансової операції. Для того щоб визначити, який отримано відносний дохід, необхідно знайти ставку відсотків, що, як правило, використовується як показник прибутковості і є еквівалентною простій обліковій ставці.

Приклад 1. Необхідно визначити облікову ставку, яка еквівалентна простій ставці відсотків і дорівнює 10 %.

Розв’язання: , або 9,09 %.

Таким чином, операція, в якій фігурує облікова ставка 9,09 %, приносить для річного періоду такий самий фінансовий результат, що й проста річна ставка відсотків, яка дорівнює 10 % річних. Ця ситуація може виникнути тоді, коли банк за нормою позичкового відсотка хоче розрахувати еквівалентну просту облікову ставку для обліку векселів.

Приклад 2. Банком був придбаний вексель за 60 днів до його погашення. Облікова ставка при покупці векселя становила 10 %. Необхідно визначити ефективність купівлі векселя.

, або 10,2 %.

Ця операція принесла банку 10,2 % річного доходу.

Прості відсоткові ставки використовуються переважно при короткострокових фінансових операціях (n ? 1), тож термін (n) необхідно замінити відношенням g/K, де g — це кількість днів користування грошима, а К — кількість днів у році (база року). Тут слід врахувати, що база року (К) набуває різних значень (360, 365, 366 днів). Відповідно еквівалентність простих ставок визначатиметься за двох умов: коли бази року приймаються однаковими і коли використовуються різні бази року (К). Для однакових баз року застосовуються такі формули:

Якщо К = 360 днів, то ; .

Якщо К = 365 днів, то ; .

Якщо бази року для ставок будуть різними, тобто база року для ставки відсотків — 365 днів, а для облікової ставки — 360 днів (це особливість банківського обліку), тоді використовують такі формули:

; .

Приклад 3. Необхідно визначити просту облікову ставку таким чином, щоб операція обліку принесла 20 % доходу на рік, якщо строк позички 60 днів, а база для нарахування простих ставок відсотків 365 днів, а для простих облікових ставок 360 днів: , тобто d = 19 %.

Формули еквівалентності простих ставок відсотків та облікових ставок свідчать про те, що за однакових умов позички проста облікова ставка буде завжди менше за просту ставку відсотків, якщо ці ставки еквівалентні. Причому різниця між цими ставками залежить від строку позички: чим більший строк фінансової угоди, тим різниця між простою ставкою відсотків (і) та простою обліковою ставкою (d) збільшується, і навпаки — для невеликих значень строку фінансової угоди різниця між (і) і (d) менш відчутна.

Слід пам’ятати, що для порівняння дохідності найрізноманітніших фінансових операцій необхідно використовувати річну ставку відсотків, яка показує річну дохідність будь-якої короткострокової фінансової операції (частку річного прибутку), тоді як проста облікова ставка слугує лише математичним засобом для розрахунку дисконту. Якщо це необхідно зробити в операціях обліку, обчислюють еквівалентну річну просту ставку відсотків.

Розглянемо формули еквівалентності для простих і складних ставок відсотків. Нарощення початкової суми (Р) за цими ставками проводиться за формулами Sп = P(1 + iпn) для простої ставки та Sс = P (1 + iс)n для складної ставки.

Якщо iп та iс еквівалентні, то повинна виконуватись умова Sп = Sс.

Звідси — рівність множників нарощення (1 + iпn) = (1 + iс)n.

Зв’язок між еквівалентними ставками відсотків визначається за такими формулами:

Ці формули дозволяють при зміні виду ставки зберегти кінцеві фінансові результати, скоригувавши ставку відсотків за величиною.

Приклад 4. Кредит одержано під 10 % річних. Визначити рівень простої ставки відсотків при строках: а) 5 років; б) 5 місяців.

Розв’язання:

а) , або 12,2 %;

б) , або 9,72 %.

Приклад 5. Фінансові відносини сторін не змінюються і в договорі обумовлена проста ставка відсотків 10 %. Визначити річну ставку складних відсотків. Строк договору 2 роки.

Розв’язання: , або 9,5 %.

Заміна в договорі ставки простих відсотків у розмірі 10 % на складну ставку відсотків у розмірі 9,5 % не змінить фінансових відносин сторін, що беруть участь у договорі.

Якщо еквівалентна простій ставці складна ставка нараховується m разів на рік, тоді

Еквівалентність простої облікової ставки й ставки складних відсотків матиме вигляд:

Приклад 6. Строк оплати за векселем настає через 60 днів. Вексель обліковується за простою обліковою ставкою 10 % річних (часова база 360 днів). Визначити ефективність даної угоди. За показник ефективності взяти річну складну ставку відсотків.

Розв’язання: , або 10,6 %.

Нехай складні відсотки нараховуються m разів на рік, тоді при рівних часових базах нарахування відсотків таке:

Еквівалентність складних відсоткових і складної облікової ставки: