Главная Финансы Книги Фінансова статистика - Шустіков А.А.

Фінансова статистика - Шустіков А.А.

13.2. Нарощена сума звичайної ренти

Розглянемо методи розрахунку нарощених сум ренти залежно від строку ренти, періодів нарахування відсотків, періодичності виплат. Використання різних методів розрахунку нарощених сум розпочнемо з річної ренти.

Введемо позначення: S — нарощена сума ренти; R — розмір членів ренти; i — ставка відсотків; n — строк ренти (число років). Припустимо, що вкладнику банку необхідно в кінці п’ятирічного періоду мати визначену суму коштів. Цю величину він нагромаджує на депозитному рахунку, на який банк нараховує відсотки за ставкою (і). Вкладник формує необхідну суму шляхом внесення рівних щорічних внесків на рахунок у кінці кожного року. Перший платіж R1 принесе йому в кінці строку суму, що дорівнює величині R1(1 + i)4, другий платіж у кінці строку становитиме величину R2(1 + i)3, третій — R3(1 + i)2, четвертий — R4(1 + i)1 і п’ятий R5. Усі платежі дорівнюють один одному R1 = = R2 = R3= R4= R5. Уявимо цей процес графічно (рис. 13.1).

Рис. 13.1. Процес нарощення рентних платежів

У кінці п’ятого року вкладник матиме суму R5 + R4(1 + i) + + R3(1 + i)2 + R2(1 + i)3 + R1(1 + i)4. Цей ряд являє собою геометричну прогресію з першим членом R і знаменником прогресії (1 + i). Якщо узагальнити цю ситуацію, то отримаємо такий послідовний ряд платежів: R (1 + i)n–1; R(1 + i)n–2; R(1 + i)n–3;...; R(1 + i); R. Цей ряд також являє собою геометричну прогресію з першим членом R і знаменником прогресії (1 + i). Сума членів скінченої геометричної прогресії обчислюється за формулою:

,

де а1 — перший член прогресії; q — знаменник прогресії. Підставивши відповідні позначення ренти, отримаємо формулу нарощеної суми річної звичайної постійної ренти:

,де — коефіцієнт нарощення ренти, значення якого подаються в додатках.

Приклад 1. Визначити суму, яка буде в кінці п’ятирічного періоду на рахунку в банку, якщо на депозит у кінці кожного періоду вносять по 200 грн. Банк нараховує відсотки за ставкою 10 % річних.

Розв’язання:

грн.

Річна рента, нарахування відсотків m разів на рік. Розглянемо випадок, коли відсотки нараховуються m разів на рік на платежі, які вносяться один раз на рік, а відсотки нараховуються за ставкою j/m. Отже, платежів з нарахованими відсотками буде в m разів більше, і вони утворять послідовний ряд геометричної прогресії:

... ; R.

Сума членів цієї зростаючої скінченої геометричної прогресії дорівнюватиме:

.

Приклад 2. Знайти нарощену суму ренти за умови, що відсотки нараховуються щоквартально. Внески робляться протягом 5 років наприкінці року по 20 тис. грн. На зібрані кошти нараховуються відсотки за ставкою 12 % річних.

Рента р-термінова (m=1). Визначимо нарощену суму за умови, що рента виплачується р разів на рік рівними платежами, а відсоток нараховується один раз наприкінці року. Якщо річна сума платежу R, то щоразу виплачується R/p. Формула для знаходження нарощеної суми р-термінової ренти буде такою:

.

Приклад 3. Визначити суму, яка буде в кінці п’ятирічного періоду на рахунку в банку, якщо на депозит у кінці кожного місяця робляться внески. Загальна сума надходжень протягом року становить 200 грн. Банк нараховує відсотки за ставкою 10 % річних.

Розв’язання: грн.

Нарощена сума при щомісячних внесках буде більшою, ніж платежі, що здійснюються один раз наприкінці року.

Існує також формула нарощеної суми ренти за умови, що платежі робляться стільки разів, скільки разів нараховуються відсотки.

Ренти р-термінові (p = m). Число членів ренти на рік дорівнює числу нарахувань відсотків протягом року p = m:

.

Усі вищерозглянуті формули нарощеної суми ренти можна отримати, використовуючи формулу для знаходження нарощеної суми ренти, коли платежі робляться р-разів протягом року, а відсотки нараховуються m-разів.

Рента р-термінова . Загальний випадок р-термінової ренти з нарахуванням відсотків m разів на рік:

.

Приклад 4. На рахунок банку щомісячно робляться внески по 100 грн. Банк нараховує 12 % річних за ставкою складних відсотків. Необхідно знайти суму, яка буде нагромаджена на рахунку через 5 років, якщо банк нараховує відсотки щоквартально.

Розв’язання: У даному разі річна сума внесків дорівнюватиме 1200 грн., тобто R = 1200.

грн..

Умови здійснення платежів і нарахування відсотків (їх частота) суттєво впливають на розмір нарощеної суми ренти. Для одних і тих самих річних виплат, тривалості ренти і ставок відсотків справедливі нерівності:

S (1; 1) < S (1; m) < S (p; 1) < S (p; m) < S (p; m) < S (p; m);

m > 1 p > 1 p > m > 1 p = m >1 1 < p < m.

Ці нерівності можуть бути використані при розробці умов контрактів.